Fast Parallel Algorithms for Matrixreduction to Normal

Poursuivant une s erie d'articles sur le calcul de formes normales de matrices, nous nous int eressons ici a la complexit e parall ele du calcul de transformations associ ees. Pour une matrice B de Mn;n(K), o u K est un corps commutatif, nous d emontrons que le probl eme de calculer une matrice de transformation P telle que F = P ?1 BP soit sous forme normale de Frobenius, est dans NC 2 K. Nous etablissons ensuite un fait analogue pour le calcul de matrices unimodulaires U(x) et V (x) telles que, etant donn ee A(x) dans Mn;m(Kx]), S(x) = U(x)A(x)V (x) soit sous forme normale de Smith. Pour des corps K concrets tels que le corps de rationnels ou les corps de Galois, ces deux probl emes sont dans NC 2. Par synth ese avec certains pr ec edents r esultats, nous avons donc d emontr e que les probl emes de calculer une r eduction a la forme de Jordan sur une extension alg ebrique, et des r eductions aux formes de Frobenius et de Smith sur le corps initial, sont tous dans NC 2 K. En corollaire nous donnons aussi le premier algorithme s equentiel polynomial pour le calcul de la forme normale de Smith sur Kx], valable pour un corps arbitraire. Mots clefs : algorithmes parall eles, NC 2 K , formes normales, transformations uni-modulaires, transformations semblables. Abstract. Continuing a series of articles on normal forms of matrices, we investigate fast parallel algorithms to compute the corresponding transformations. Given a matrix B in Mn;n(K), where K is an arbitrary commutative eld, we establish that computing a similarity transformation P such that F = P ?1 BP is under Frobenius normal form can be done in NC 2 K. Using a reduction to this rst problem, a similar fact is then proved for the Smith normal form S(x) of a polynomial matrix A(x) in Mn;m(Kx]); to compute unimodular matrices U(x) and V (x) such that S(x) = U(x)A(x)V (x) can be done in NC 2 K. We get that over concrete elds such as the rationals, these problems are in NC 2. Using our previous results we have thus established that the problems of computing transformations over a eld extension for the Jordan normal form, and transformations over the input eld for the Frobenius and the Smith normal form are all in NC 2 K. As …